Quadratische Gleichungen Rechner (abc- und pq-Formel)

Einleitung

Folgende Gleichung ist eine quadratische Gleichung:

\( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \)

\( a \), \( b \) und \( c \) sind die Faktoren, \( x \) die Unbekannte in dieser Gleichung. Um eine quadratische Gleichung zu lösen, muss sie in der Regel also durch Umformen zuerst auf diese Form gebracht werden.

Folgender Rechner berechnet die Unbekannte \( x \) über die Faktoren \( a \), \( b \) und \( c \). \( x \) kann dabei in der Regel zwei unterschiedliche Werte annehmen (\( x_{1} \) und \( x_{2} \)). Für bestimmte Werte von \( a \), \( b \) und \( c \) existiert keine Lösung in den reellen Zahlen \( \mathbb{R} \), sondern lediglich Lösungen in den komplexen Zahlen \( \mathbb{C} \) mit der imaginären Einheit i (in der Elektrotechnik oft auch j).

Berechnung

Formel

Zur Lösung quadratischer Gleichungen gibt es zwei bekannte Formeln - die große und die kleine Lösungsformel. Das Lösen einer quadratischen Gleichung entspricht genau dem Finden von Nullstellen.

Große Lösungsformel (abc-Formel, Mitternachtsformel)

Die große Lösungsformel gilt für quadratische Gleichungen der Form \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \).
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot a} \) löst diese Quadratische Gleichung. Der Name abc-Formel stammt von den sehr häufig verwendeten Koeffizienten a, b und c in der Formel. Umgangssprachlich wird diese Formel auch oft Mitternachtsformel genannt. Lehrer verlangen von Schülern häufig, dass sie diese in- und auswendig können - selbst wenn man sie um Mitternacht aufweckt.

Kleine Lösungsformel (pq-Formel)

Die kleine Lösungsformel gilt für quadratische Gleichungen der Form \( x^2+p \cdot x + q = 0 \).
Die Lösung lässt sich über die Formel \( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \) berechnen. Der Name pq-Formel stammt, so wie bei der großen Lösungsformel, von den häufig verwendeten Koeffizienten p und q ab. Das Merken beider Lösungsformel ist in der Regel nicht notwendig. Mit der großen Lösungsformel lässt sich jede quadratische Gleichung lösen, die kleine Lösungsformel fordert als Koeffizient vor dem \( x^2 \) eine 1. Dividiert man die quadratische gleichung durch den Koeffizienten vor \( x^2 \) (also durch \( a \)), kann auch die kleine Lösungsformel zur Lösung jeder quadratischen Gleichung herangezogen werden.

Umwandlung abc-Formel zu pq-Formel

Die Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) der großen Lösungsformel lassen sich einfach in die Koeffizienten \( p \) und \( q \) der kleinen Lösungsformel überführen.

\( p = \frac{b}{a} \)

\( q = \frac{c}{a} \)

Mögliche Lösungen

Geht man von der Gleichung \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \) aus, gibt es drei mögliche Lösungsfälle. Dies wird ersichtlich, wenn man sich die Lösungsformel \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot a} \) ansieht. Der Wert unter der Wurzel, der als Diskriminante \( D = b^2 - 4ac \) bezeichnet wird, kann positiv sein, 0 sein oder negativ sein.

Zwei reelle Lösungen (D > 0)

Für \( D > 0 \) lässt sich die Wurzel in den reellen Zahlen ziehen und die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen (einmal mit + vor der Wurzel, einmal mit - vor der Wurzel).

Als Beispiel dient die Gleichung \( 2 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 1 = 0 \) mit den Koeffizienten \( a = 2 \), \( b = 5 \) und \( c = 1 \). Die Diskriminante \( D \) ist offensichtlich positiv:

Die zwei Lösungen der Gleichung lauten somit:

Eine reelle Lösung (\( D = 0 \))

Für \( D = 0 \) lässt sich die Wurzel zwar auch ziehen, ergibt jedoch 0. Die quadratische Gleichung hat dann nur eine Lösung (denn +0 und -0 ergibt genau die selbe Lösung).

Folgende Gleichung hat eine verschwindende Diskriminante D:

Die Doppellösung lautet also \( x = 1 \).

Zwei konjugiert komplexe Lösungen (\( D < 0 \))

Für \( D < 0 \) lässt sich keine reelle Zahl als Lösung der Wurzel finden (denn es gibt keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt). Führt man die imaginäre Einheit \( i = \sqrt{-1} \) ein, lässt sich eine Lösung in den komplexen Zahlen finden.

Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung mit einem Paar an konjugiert komplexen Lösungen ist folgendes:

Die Diskriminante D ist kleiner 0: Die zwei Lösungen der Gleichung lauten somit:

Herleitung der quadratischen Lösungsformeln

Um die quadratischen Lösungsformeln herzuleiten, muss zuerst auf ein vollständiges Quadrat ergänzt werden. Ausgehend von der Form \( a \cdot x^2+b \cdot x + c = 0 \) wird c von dieser Gleichung subtrahiert, um nur noch Terme, die ein x beinhalten, auf der linken Seite stehen zu haben.

Damit der erste Term der linken Seite dem ersten Term der binomischen Formel \( (e+f)^2=e^2+2ef+f^2 \) und der zweite Term der linken Seite dem zweiten Term der binomischen Formel entsprechen kann, muss noch mit \( 4a \) multipliziert werden.
Durch Vergleich mit der binomischen Formel fällt auf, dass auf der linken Seite zur Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat lediglich mehr \( b^2 \) fehlt. Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat, Wurzelziehen und weiteres Umformen führt schließlich auf die große quadratische Lösungsformel.

Beispiele

Große Lösungsformel

Die Koeffizienten dieser Gleichung lauten also: Einsetzen in die große Lösungsformel liefert das Ergebnis.

Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat

Ein Beispiel mit Zahlen und nur einer Variablen dient zur Veranschaulichung, wie die Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat funktioniert.

Zum Vergleich der Koeffizienten wird die binomische Formel verwendet \( (e+f)^2=e^2+2ef+f^2 \). Es ist leicht ersichtlich, dass der erste Term in der Klammer \( x \) sein muss, denn quadriert ergibt der erste Term dann \( x^2 \). Der zweite Term in der Klammer muss nun offensichtlich 5 sein, denn \( 2 \cdot x \cdot 5\) ergibt \( 10x \).
Die Zahl 25 ist nun zu viel, kann also einfach von dieser Gleichung abgezogen werden. Die rechte Seite dieser Gleichung entspricht nun genau den ersten zwei Termen der Anfangsleichung. Anstelle von \( x^2 + 10x \) wird also einfach \( (x+5)^2 - 25 \) eingesetzt.