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Berechnung elektrischer Widerstandsnetzwerke

Bei der Berechnung elektrischer Widerstandsnetzwerke spricht man meist von Netzwerkanalyse. Dabei wird ein elektrisches Netzwerk, bestehend aus Bauelementen wie Widerständen, Spannungsquellen und Stromquellen analysiert. Ausgehend von den bekannten Größen können alle anderen Größen wie Ströme und Spannungen in der Schaltung berechnet werden. Dies geschieht mittels verschiedener Rechenmethoden und Regeln wie zum Beispiel:

Meist werden mehrere Techniken zugleich angewendet. Das ohmsche Gesetzt bildet dabei immer die Grundlage zur Analyse elektrischer Widerstandsnetzwerke.

Beispiele

Schaltung mit einer Spannungsquelle und vier Widerständen

Es soll eine Schaltung mit einer Spannungsquelle und vier Widerständen (Abb. 1) analysiert werden. Die Quellenspannung der Spannungsquelle, als auch die Widerstandswerte der vier Widerstände sind gegeben. Gesucht sind die Ströme in den einzelnen Zweigen, sowie die Spannungsabfälle an jedem Widerstand.

\( U_q = 12 V \)

\( R_1 = 20 \Omega \)

\( R_2 = 25 \Omega \)

\( R_3 = 10 \Omega \)

\( R_4 = 100 \Omega \)

Grundschaltung
Abb. 1: Grundschaltung

In einem ersten Schritt werden die Widerstände \( R_3 \) und \( R_4 \) zusammengesfasst. Diese befinden sich in Serie, die Widerstandswerte können addiert werden.

Zwei Widerstände befinden sich in Serie, wenn durch sie der selbe Strom fließt. Dabei ist ein Eingang des ersten Widerstandes direkt mit einem Eingang des anderen Widerstandes verbunden. Es gibt keine Abzweigung zwischen den Widerständen, in der Strom hinaus oder hinein fließen könnte.

\( R_{34} = R_3 + R_4 = 10 \Omega + 100 \Omega = 110 \Omega \)

Der aus der Serienschaltung entstehende Ersatzwiderstand wird \( R_{34} \) genannt, um zu verdeutlichen, dass dieser die Widerstände \( R_3 \) und \( R_4 \) beinhaltet. Damit ergibt sich eine vereinfachte Schaltung, in der diese beiden Widerstände zu einem zusammengefasst sind (Abb. 2).

Grundschaltung
Abb. 2: Zusammenfassen von \( R_3 \) und \( R_4 \)

Im nächsten Schritt werden die Widerstände \( R_2 \) und \( R_{34} \) zusammengefasst. Diese Widerstände befinden sich parallel zueinander.

Zwei Widerstände befinden sich parallel zueinander, wenn ein Anschluss des einen Widerstandes direkt mit einem Anschluss des anderen Widerstandes verbunden ist und der andere Anschluss des einen Widerstandes direkt mit dem anderen Anschluss des anderen Widerstandes verbunden ist. Es liegt dann an beiden Widerständen die selbe Spannung an.

\( R_{234} = \frac{R_2 \cdot R_{34}}{R_2 + R_{34}} = \frac{25 \Omega \cdot 110 \Omega}{25 \Omega + 110 \Omega} = 20,37 \Omega \).

Damit vereinfacht sich die Schaltung und beinhaltet nun nur noch zwei Widerstände, sowie die Spannungsquelle (Abb. 3).

Grundschaltung
Abb. 3: Zusammenfassen von \( R_2 \) und \( R_{34} \)

Schlussendlich können die beiden verbliebenen in Serie befindlichen Widerstände zusammengefasst werden und es gibt sich die vereinfachte Schaltung mit dem Gesamtwiderstand \(R_{ges} \) (Abb. 4).

\( R_{ges} = R_1 + R_{234} = 20 \Omega + 20,37 \Omega = 40,37 \Omega \)

Grundschaltung
Abb. 4: Zusammenfassen zu einem Gesamtwiderstand \( R_{ges} \)

Nun kann mittels ohmschem Gesetzt, das sich immer auf einen Widerstand bezieht (Widerstandswert, Strom durch diesen Widerstand, Spannung an diesem Widerstand), der Strom \( I_1 \) berechnet werden. Die Spannung \( U_{ges} \) muss gleich groß der Quellenspannung \( U_q \) sein, da die gesamte bereitgestellte Spannung an nur einem Widerstand abfallen kann. Dies kann auch mit der Maschenregel (2. Kirchhoffsche Regel) überprüft werden.

\( I_1 = \frac{U_{ges}}{R_{ges}} = \frac{12 V}{40,37 \Omega} = 0,2972 A \)

\( I_1 \) fließt sowohl durch \( R_1 \), als auch durch \( R_{234} \) (Abb. 3). An jedem dieser Widerstände kann nun das ohmsche Gesetzt angewendet werden, um den Spannungsabfall an den Widerständen zu berechnen.

\( U_1 = I_1 \cdot R_1 = 0,2972 A \cdot 20 \Omega = 5,945 V \)

\( U_{234} = I_1 \cdot R_{234} = 0,2972 A \cdot 20,37 \Omega = 6,055 V \)

Die Summe dieser beiden Spannungen muss nach der 2. Kirchhoffschen Regel der Gesamtspannung \( U_{ges} \) entsprechen. Dies kann durch Addition überprüft werden.

\( U_{ges} = U_1 + U_{234} = 5,945 V + 6,055 V = 12 V \color{green}{\surd} \)

Die Spannung \( U_{234} \) ist gleich der Spannung \( U_2 \) und der Spannung \( U_{34} \), da bei einer Parallelschaltung die Spannung an jedem Element gleich groß ist (Abb. 2).

\( U_2 = U_{34} = U_{U234} = 6,055 V \)

Die Ströme \( I_2 \) und \( I_3 \) können nun über das ohmsche Gesetzt für jeden Widerstand berechnet werden.

\( I_2 = \frac{U_2}{R_2} = \frac{6,055 V}{25 \Omega} = 0,2422 A \)

\( I_3 = \frac{U_{34}}{R_{34}} = \frac{6,055 V}{110 \Omega} = 0,0550 A \)

Dabei ist ersichtlich, dass bei einer Parallelschaltung der Strom umso größer ist, je kleiner der Widerstandwert ist.

Die Ströme in einer Parallelschaltung von Widerständen verhalten sich indirekt proportional zu den Widerstandswerten.

Nach dem 1. Kirchhoffschen Gesetz (Knotenregel) muss die Summe dieser beiden Ströme dem Strom \( I_1 \) entsprechen. Der Strom \( I_1 \) teilt sich also in die Ströme \( I_2 \) und \( I_3 \) auf.

\( I_1 = I_2 + I_3 = 0,2422 A + 0,0550 A = 0,2972 A \color{green}{\surd} \)

Im letzten Schritt werden über \( I_3 \), der sowohl durch \( R_3 \) als auch \( R_4 \) fließt, die Spannungen \( U_3 \) und \( U_4 \) berechnet (Abb. 1).

\( U_3 = I_3 \cdot R_3 = 0,0550 A \cdot 10 \Omega = 0,550 V \)

\( U_4 = I_3 \cdot R_4 = 0,0550 A \cdot 100 \Omega = 5,50 V \)

Dabei ist ersichtlich, dass bei einer Serienschaltung die Spannung umso größer ist, je größer der Widerstandswert ist.

Die Spannungen in einer Serienschaltung von Widerständen verhalten sich direkt proportional zu den Widerstandswerten.

Quellen

Adalbert Prechtl: Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik. SpringerWienNewYork, 2006

Wikipedia - Netzwerkanalyse (Elektrotechnik), Abgerufen am 20.11.2021